Introduzione al corso

Indicazioni generali

• Lezioni di teoria del lunedì videoregistrate e caricate su Ariel

• Richiesta la presenza alle esercitazioni (firma)

• Domande al di fuori delle lezioni:

  • Se su argomenti di teoria o comunque di interesse generale, sul forum di Ariel

  • Se specifiche sul proprio codice, contattate il docente (maurizio.tomasi@unimi.it)

• A meno di sorprese, dovremmo terminare la settimana del 3–7 giugno, ma potremmo dover essere creativi, facendo qualche lezione di teoria il mercoledì

Obbiettivi del corso

1. Come tradurre un modello fisico in un codice numerico?
2. Come scrivere codice ben strutturato e documentato?
3. Come generare immagini fotorealistiche?

È un corso multidisciplinare: non riservato a cosmologi e astrofisici!

Obbiettivi del corso

1. Come tradurre un modello fisico in un codice numerico?
2. Come scrivere codice ben strutturato e documentato?
3. Come generare immagini fotorealistiche?

È un corso multidisciplinare: non riservato a cosmologi e astrofisici!

Soluzioni numeriche

Utilità delle simulazioni

Planck: missione spaziale ESA (2009–2013)

Utilità delle simulazioni

Assemblaggio della sonda nei laboratori ESA

Utilità delle simulazioni

Utilità delle simulazioni

Obbiettivi del corso

1. Come tradurre un modello fisico in un codice numerico?
2. Come scrivere codice ben strutturato e documentato?
3. Come generare immagini fotorealistiche?

Repository pubblici

Elenco di modifiche

Test automatici

Tracciamento di bug

Lavoro in team

Obbiettivi del corso

1. Come tradurre un modello fisico in un codice numerico?
2. Come scrivere codice ben strutturato e documentato?
3. Come generare immagini fotorealistiche?

Generazione di immagini

Vivian Maier (1926–2009), Autoritratto

Oceania (R. Clements, J. Musker, D. Hall, C. Williams, 2016)

«Cornell box»

«Cornell box»

Bibliografia

• Physically Based Rendering: from Theory to Implementation (M. Pharr, W. Jakob, G. Humphreys, quarta ed.): molto complesso e completo, è il testo di riferimento in materia. È disponibile online.
• Advanced Global Illumination (P. Dutré, K. Bala, P. Bekaert, seconda ed.): lo useremo soprattutto per le parti più «fisiche».
• Realistic Ray Tracing (P. Shirley, R. K. Morley, seconda ed.): molto antiquato, è utile soprattutto come testo introduttivo.

Radiometria

Propagazione della luce

• Ottica quantistica (non usata nella computer graphics)
• Modello ondulatorio (diffrazione, es. bolle di sapone)
• Ottica geometrica

(v. Dutré, Bala, Bekaert)

Ottica geometrica

• La luce si propaga lungo linee rette (geodesiche)
• La velocità della luce è assunta infinita
• La lunghezza d’onda si assume tendente a zero (frequenza → ∞)
• Propagazione non influenzata da effetti gravitazionali o magnetici

Perché ci serve la radiometria?

• In questo corso dovremo trattare la radiometria, ossia la scienza che studia come la radiazione si propaga in un mezzo.
• Ciò che è importante è avere quantità che caratterizzano la radiazione in maniera il più possibile indipendente da strumenti che la misurano.

Quantità radiometriche

• Energia emessa (Joule)
• Potenza radiante, o flusso (Energia che attraversa una superficie nell’unità di tempo)
• Irradianza, emettenza radiante (flusso normalizzato sulla superficie)
• Radianza (← il cuore del corso!)
• Le definizioni che useremo saranno quelle usate nella computer graphics, ma possono essere diverse in altri campi della fisica! (Es., in astronomia l’irradianza è chiamata flusso).

Flusso

• Energia che attraversa una superficie A nell’unità di tempo: \Phi
• [\Phi] = \mathrm{W} (in fisica, il flusso si misura invece come \mathrm{W}/\mathrm{m}^2!).
• Esempio: A è la superficie di un rivelatore, come la pupilla umana o l’obbiettivo di una fotocamera.
• Più è grande la superficie A, maggiore è \Phi.

Irradianza/emettenza

• Flusso \Phi normalizzato sulla superficie: I, E = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}A}, \qquad [I] = \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

• Irradianza I: ciò che cade su \mathrm{d}A; emettenza E: ciò che abbandona \mathrm{d}A

Radianza

• Ciò che ci interessa!
• Flusso \Phi normalizzato sulla superficie proiettata per unità di angolo solido: L = \frac{\mathrm{d}^2\Phi}{\mathrm{d}\Omega\,\mathrm{d}A^\perp} = \frac{\mathrm{d}^2\Phi}{\mathrm{d}\Omega\,\mathrm{d}A\,\cos\theta}, \qquad [L] = \mathrm{W}/\mathrm{m}^2/\mathrm{sr}.
• Come l’irradianza e l’emettenza, la radianza è funzione del punto \mathbf{x} della superficie \mathrm{d}A: L = L(\mathbf{x}).

Angoli solidi e distanza

• Dato che I \propto A^{-1} \propto d^{-2}, l’irradianza su \mathrm{d}A a 3d è 1/9 di quella a d
• Ma \mathrm{d}\Omega = dA/d^2 \propto d^{-2}
• Quindi L \propto I/\mathrm{d}\Omega non dipende da d

Radianza

• Il rapporto sull’angolo solido rimuove la dipendenza dalla distanza
• La presenza di \cos\theta rimuove la dipendenza dall’orientamento di \mathrm{d}A.

Notazione per la radianza

• Useremo spesso la notazione L(\mathbf{x} \rightarrow \Theta) per indicare la radianza che abbandona una superficie nel punto \mathbf{x} verso la direzione \Theta, a cui è associato un angolo solido \mathrm{d}\Omega.

• Analogamente, L(\mathbf{x} \leftarrow \Theta) è la radianza proveniente dalla direzione \Theta che incide sulla superficie in \mathbf{x}.

Spettri di emissione

Ciascuna delle quantità viste finora può essere riferita a un intervallo di lunghezze d’onda. Diverse sorgenti luminose hanno infatti spettri differenti:

Radianza spettrale

Dalla radianza L(\mathbf{x} \leftrightarrow \Theta) si può definire la radianza spettrale L_\lambda(\mathbf{x} \leftrightarrow \Theta), che fa riferimento all’intervallo di lunghezze d’onda [\lambda, \lambda + \mathrm{d}\lambda] e indichiamo con la stessa lettera L per comodità. È definita tramite l’equazione L(\mathbf{x} \leftrightarrow \Theta) = \int_0^\infty L_\lambda(\mathbf{x} \leftrightarrow \Theta)\,\mathrm{d}\lambda, \quad [L_\lambda(\mathbf{x} \leftrightarrow \Theta, \lambda)] = \mathrm{W}/\mathrm{m}^2/\mathrm{sr}/\mathrm{m}.

Proprietà di L

1. Da L si possono ricavare \Phi, I, E. Ad esempio:

   \Phi = \iint_{A, \Omega} L(\mathbf{x} \rightarrow \Theta)\, \cos\theta\,\mathrm{d}\Omega\,\mathrm{d}A_\mathbf{x},

2. In assenza di attenuazione vale che L(\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{y}) = L(\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{z}), se \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} sono sulla stessa retta; vale lo stesso per L_\lambda, ovviamente.

3. Il fatto che L e L_\lambda non dipendano dalla distanza implica che il colore percepito di un oggetto alla distanza d non cambia al variare di d (se non c’è attenuazione).

Utilità di L

L è ciò che viene misurato da qualsiasi sensore (telecamera, occhio umano) sensibile alla luce.

Utilità di L_\lambda

Il comportamento di L_\lambda al variare di \lambda permette di stimare il colore (hue):

(Esiste anche un terzo parametro, la saturazione, che tratteremo a breve.)

Creazione di immagini

Stimare L e L_\lambda insieme consente di produrre un’immagine a colori:

Esempio

Consideriamo un emettitore diffuso, un oggetto che emette luce uniformemente in tutte le direzioni:

In questo caso, L(\mathbf{x} \rightarrow \Theta) = L_e\qquad\text{(costante)}.

Calcolo del flusso

\begin{aligned} \Phi &= \iint_{A, \Omega} L(\mathbf{x} \rightarrow \Theta)\,\cos\theta\,\mathrm{d}\Omega\,\mathrm{d}A =\\ &= \iint_{A, \Omega} L_e\,\cos\theta\,\mathrm{d}\Omega\,\mathrm{d}A =\\ &= L_e \int_A \mathrm{d}A \int_\Omega \cos\theta\,\mathrm{d}\Omega =\\ &= L_e \int_A \mathrm{d}A \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \cos\theta\,\sin\theta =\\ &= \pi A L_e.\\ \end{aligned}

Interazione luce/superficie

«Cornell box»

La BRDF

La Bidirectional Reflectance Distribution Function (BRDF) è il rapporto f_r(x, \Psi \rightarrow \Theta) tra la radianza che abbandona una superficie lungo \Theta e l’irradianza (flusso normalizzato su A, \mathrm{W}/\mathrm{m}^2) ricevuta da una direzione \Psi:

\begin{aligned} f_r(x, \Psi \rightarrow \Theta) &= \frac{\mathrm{d}L (x \rightarrow \Theta)}{\mathrm{d}I(x \leftarrow \Psi)} = \\ &= \frac{\mathrm{d}L (x \rightarrow \Theta)}{ L(x \leftarrow \Psi) \cos(N_x, \Psi)\,\mathrm{d}\omega_\Psi }, \end{aligned} dove \cos(N_x, \Psi) è l’angolo tra la normale a \mathrm{d}A e la direzione incidente \Psi.

La BRDF

Si usa l’irradianza perché qui non ci interessano solo le caratteristiche intrinseche dei raggi luminosi, ma anche il modo in cui la superficie “reagisce” ad essi.

Significato della BRDF

• Descrive come una superficie interagisce con la luce;
• f_r \propto \cos^{-1}(N_x, \Psi): si tiene conto dell’inclinazione della sorgente luminosa rispetto a \mathrm{d}A.
• f_r : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} (per codificare una direzione sono necessari due numeri), ma nel caso più generale dipende anche da \lambda e dal tempo t;
• È una funzione positiva: f_r \geq 0, e la sua unità di misura è 1/\mathrm{sr};
• Si considera tutto l’angolo solido 4\pi, perché la BRDF si usa anche per superfici (semi-)trasparenti.
• Assume che la luce abbandoni la superficie dallo stesso punto x in cui l’ha incontrata (non vero per subsurface scattering!).

Reciprocità di Helmholtz

• Per la BRDF vale la reprocità di Helmholtz: f_r(x, \Psi\rightarrow\Theta) = f_r(x, \Theta\rightarrow\Psi), ossia, la BRDF non cambia se si scambiano la direzione entrante con quella uscente.

• Si può dimostrare questa proprietà usando le equazioni di Maxwell, ma la dimostrazione è lunga e non particolarmente interessante per i nostri scopi.

Più angoli di incidenza

Grazie al principio di sovrapposizione dei campi e.m., se si hanno più sorgenti luminose i=1\ldots N che insistono su una superficie, è sufficiente sommare le componenti:

\begin{aligned} \mathrm{d}L_i(x \rightarrow \Theta) &= f_r(x, \Psi_i \rightarrow \Theta) \mathrm{d}E(x \leftarrow \Psi_i) =\\ &= f_r(x, \Psi_i \rightarrow \Theta) L(x \leftarrow \Psi_i)\,\cos(N_x, \Psi_i)\,\mathrm{d}\omega_{\Psi_i},\\ L_\text{tot}(x \rightarrow \Theta) &= \int_{\Omega_x} f_r(x, \Psi \rightarrow \Theta) L(x \leftarrow \Psi)\,\cos(N_x, \Psi)\,\mathrm{d}\omega_\Psi. \end{aligned}

Utilità della BRDF

Superficie diffusiva ideale

Tutta la radiazione incidente viene distribuita sulla semisfera 2\pi, così la BRDF è costante: f_r(x, \Psi \rightarrow \Theta) = \frac{\rho_d}\pi, dove 0 \leq \rho_d \leq 1 è la frazione di energia incidente che viene riflessa.

Altre BRDF

• Una superficie perfettamente riflettente è modellata da una Delta di Dirac, ossia identicamente nulla tranne nella direzione uscente R data dalla legge di riflessione: R = 2(N \cdot \Psi) N - \Psi, dove N è il vettore normale (tangente) alla superficie.

• Esistono online librerie di BRDF, solitamente ricavate da misure in laboratorio, quasi tutte a pagamento.

L’equazione del rendering

Formulazione dell’equazione

L’equazione che studieremo durante il corso è la seguente: \begin{aligned} L(x \rightarrow \Theta) = &L_e(x \rightarrow \Theta) +\\ &\int_{\Omega_x} f_r(x, \Psi \rightarrow \Theta)\,L(x \leftarrow \Psi)\,\cos(N_x, \Psi)\,\mathrm{d}\omega_\Psi, \end{aligned} dove L_e è la radianza emessa dalla superficie nel punto x lungo la direzione \Theta.